EWMA-指数加权移动平均控制图及应用

在SPC（Statistical Process Control）中，指数加权移动平均（EWMA: Exponentially Weighted Moving Average）控制图常用来侦测流程的微小偏移，作用与累积和控制图（CUSUM：Cumulative Sum）类似，但设置和操作通常要容易一些。EWMA有时也称为几何移动平均（GMA: Geometric Moving Average），在时间序列建模和预测领域应用十分广泛。

指数加权移动平均控制图由Roberts在1959年提出，后来被广泛使用。其核心要素EWMA统计量（即所有之前样本均值的加权平均值），定义公式为：Z_i=λX_i+(1-λ)Z_i-1，其中常数λ的取值范围为0<λ≤1。

上述公式的初始值Z₀（当i=1时）取流程的目标值（即在Z₀=μ₀），有时也用初始数据的均值作为初始值，即Z₀=XBar。由于EWMA是所有之前和当前样本的加权平均，因此对数据的正态性假设很不敏感，因此，用于单个观测值是十分理想的。

如果观测值xi是独立的随机变量，方差为σ²，那么Z_i>的方差为

因此，EWMA控制图的纵轴是z_i，横轴是样本序号或时间，中心线和控制限的计算公式为：

注意到上述公式中的(1-λ)²ⁱ>部分，当i逐渐增大时，(1-λ)²ⁱ将很快收敛到0，因此当i增大时，UCL和LCL将稳定到下面两个值：

但当i比较小时，强烈建议使用精确公式，这样十分有助于提高此时EWMA控制图的作用以侦测流程的偏移。

以下是一个EWMA控制图的示例：

如何决定公式中L和λ的值

EWMA控制图对于侦测流程的微小偏移十分有用。我们该如何决定L和λ的值呢？通常认为最佳的决定步骤包括指定需要的受控和失控的平均运行链长（ARL: Average Run Length）和预期的流程偏移的大小，然后选择合适的L和λ的值来实现所需的ARL。

几种EWMA参数组合下的ARL：

总体而言，0.05≤λ≤0.25范围内的λ值在实践中有较好的表现，实践中通常取λ=0.05，λ=0.10或者λ=0.20。经验法则建议用较小的λ来侦测流程的较小的偏移。另外一种思路是，选取合适λ使得对当前和之前样本的权重与休哈特控制图及其判异准则给与这些样本的权重相同，此时λ=0.4。而对于L，实践表明L=3的使用效果不错，特别是当λ较大的时候。另外，当λ≤0.1时，2.6≤L≤2.8能有效地使控制限变窄。

实践中，我们几乎总是倾向于使用较小的λ，因为这能够帮助控制图以更好的ARL侦测微小的流程偏移，而且使得EWMA控制图对数据的正态性假设更加不敏感。但是，由于在使用较小的λ时，EWMA控制图给与最新的数据的权重很小，如果EWMA的值在中心线的一边，而流程均值的偏移在中心线另一边时，EWMA需要一段时间才能对这一偏移做出反应，这将会降低EWMA控制图侦测微小流程偏移时的有效性。控制图（不仅仅限于EWMA控制图）的这种情况被称为惯性效应（Inertia Effect）。

EWMA与休哈特控制图的结合应用

通常，我们建议将休哈特控制图与EWMA控制图一起使用以规避因EWMA控制图的惯性效应而带来的风险。此外，由于EWMA控制图与CUSUM控制图一样，它们在侦测较小的流程偏移是十分有效，但对于较大的流程偏移，它们的反应速度却没有休哈特控制图高。因此，在实践中，我们可以将EWMA控制图与休哈特控制图同时使用，这样能确保有效地侦测所有（较大的和较小的）流程偏移。

研究和实践都表明，休哈特控制图对数据是否服从正态分布是十分敏感的，当数据不服从正态分布时，假报警的概率可能会升高。而EWMA控制图侦测流程偏移及预警的效力却与数据服从何种分布无关。

EWMA控制图是否适用于（子组）均值控制？

EWMA控制图通常被用来分析和监控单个测量值（或观测值），在合理分组的情况下，如果子组大小n>1，我们同样可以适用EWMA控制图，只需要将前文中相关公式中的X_i用XBar_i代替，将σ用σXBar=σ/sqrt(n)代替就可以了。