过程控制(Process Control)的单因素方法和多因素方法

在统计过程控制（SPC: Statistical Process Control）中，单因素控制图(Univariate Control Chart)用来检验过程单个质量参数是否受控的情况，比如经典的休哈特控制图、CUSUM、EWMA控制图等就是典型的单因素控制图。这些控制图在使用时，我们通常假设只有一个过程输出变量或者只有一个我们感兴趣的质量特性。由于单因素控制图有很多种，在实际的应用中，我们需要根据生产过程和数据的不同特点来选用合理的单因素控制图，如下是图一个比较完整的选用路径。

接下来，我们再来用图形总结一下多种单因素过程控制方法适用的情形。

从上图左轴可以看出，随着样本抽样间隔的增加，休哈特控制图将越来越变得适用，因为样本较大的抽样间隔通常会使自相关效应失效；而随着样本抽样间隔的减小，自相关效应将变得更加重要，此时我们很可能需要使用ARIMA或EWMA方法。

而从上图右轴可以看出，过程调整的成本增加会促使我们使用休哈特控制图来监测过程；而在另一方面，如果过程调整成本较低，将使得我们可以使用一些工程过程控制系统。

在上图纵轴上，当随机因素或噪声在均值的移动中处于主导地位时，休哈特控制图会变得更加适合；而如果均值的移动更多地与随机噪声有关，我们又会使用ARIMA或EWMA类型的方法，或者工程控制器。

那么，当需要监控的变量不止一个且相关呢？

一种方法是对每个变量分别使用单因素控制图，这种方式有时候是有效的，但也有时候会无效甚至出现误导性的结论，这时候，我们就需要使用多因素控制(Multivariate Control Approaches)方法了，它们能将不同参数结合起来考虑。

在多因素控制图中，“Hotelling T2 ”控制图与Xbar控制图类似，另外EWMA控制图也有适用于多因素质量监控的版本。多因素控制图在变量个数不太多（比如10个以内）的时候效果比较明显，而当变量个数增多时，传统的多因素控制图却不是很有效，这时候我们通常需要对变量个数进行降维处理，进行降维的有效方法之一是使用主成分分析法。

比如在很多时候，一种轴承的外径和内径就是两个彼此相关的变量。这时，我们或许可以用单因素控制图对轴承的外径和内径分别进行监控，但这有时却具有一定的误导性。在如下的图形中，X1和X2在被用单因素控制图单独进行监控时并没有发现异常，这时X1和X2都应在其控制限内，等同于点（X1,X2）落在如下图中的阴影区域，但是看起来有一个点与其他点似乎有所不同。这时，如果我们需要提升质量监控的效率，就需要考虑多因素控制图了，其必要性从下面两幅图中可见一斑。

由于在当今的生产实践中，自动测量同一产品的多个变量变得相对容易，比如在一些化工厂和半导体公司，保留产品的数百个变量的测量数据是一种很常见的情况。在这种背景下，多因素控制图也开始越来越被更多地重视起来。

注：本文参考资料为Douglas C. Montgomery的专著“Introduction to Statistical Quality Control”。